Solution
(a) Show that B=(I+A)−1(I−A)">B=(I+A)−1(I−A)B=(I+A)−1(I−A) We have(I+A)(I−A)=I−A+A−A2(I−A)(I+A)=I+A−A−A2(I+A)(I−A)=(I−A)(I+A)(I−A)=(I+A)−1(I−A)">(I+A)(I−A)=I−A+A−A2(I−A)(I+A)=I+A−A−A2(I+A)(I−A)=(I−A)(I+A)(I−A)=(I+A)−1(I−A)(I+A)(I−A)=I−A+A−A2(I−A)(I+A)=I+A−A−A2(I+A)(I−A)=(I−A)(I+A)(I−A)=(I+A)−1(I−A)Muhiply from the right side by (I+A)−1">(I+A)−1(I+A)−1
then we get (I−A)(I+A)−1=(I+A)−1(I−A)">(I−A)(I+A)−1=(I+A)−1(I−A)">(I−A)(I+A)−1=(I+A)−1(I−A)(I−A)(I+A)−1=(I+A)−1(I−A)
Therefore, B=(I+A)−1(I−A)">B=(I+A)−1(I−A)B=(I+A)−1(I−A)
(b) Show that I+B">I+BI+B is invervible and express A">AA in terms of B">BB We have(I+A)(I+B)=(I+A)+(I+A)B=I+A+I−A=2I">(I+A)(I+B)=(I+A)+(I+A)B=I+A+I−A=2I(I+A)(I+B)=(I+A)+(I+A)B=I+A+I−A=2ITherefore, (I+B)">(I+B)(I+B) is invertible and its inverse is 12(I+A)$Then">12(I+A) , 12(I+A)$Then">Then12(I+A)$Then(I−B)(I+B)−1=12(I−B)(I+A)=12[I+A−B(I+A)]=12(I+A−I+A)(I−B)(I+B)−1=A">(I−B)(I+B)−1=12(I−B)(I+A)=12[I+A−B(I+A)]=12(I+A−I+A)(I−B)(I+B)−1=A(I−B)(I+B)−1=12(I−B)(I+A)=12[I+A−B(I+A)]=12(I+A−I+A)(I−B)(I+B)−1=A$