In: Math
If 3/(2+ cos θ+i sin θ) = a+ib, then [(a-2)2+b2] is
Given - 3/(2+ cos θ+ i sin θ) = a+ib
3 (2+ cos θ) – i sin θ)/(2+ cos θ + i sin θ)(2+cos θ)- i sin θ)
= ((6+ 3 cos θ) – i 3 sin θ)/((2+cos θ)²+ sin2 θ)
= ((6+ 3 cos θ) – i(3 sin θ))/(5+4 cos θ)
Comparing with a+ib, we get
a = (6+ 3 sin θ)/(5+ 4 cos θ)
b = -3 sin θ/(5+ 4 cos θ)
(a-2)²+b² = [(6+ 3 sin θ)/(5+ 4 cos θ)]-2)²+(-3 sin θ/(5+ 4 cos θ))²
= (-4-5 cos θ)²+9 sin²θ)/(5+ 4 cos θ)²
= ((4+5 cos θ)²+9 sin²θ)/(5+ 4 cos θ)²
= (16 + 40 cos θ +25 cos²θ+ 9 sin2θ)/(5 +4 cos θ)²
= (16 + 40 cos θ+ 16 cos²θ+ 9 (sin²θ +cos²θ))/(5+ 4 cos θ)²
= (16 + 40 cos θ+ 16 cos²θ+ 9)/(5 +4 cos θ)²
= (16 cos²θ+ 40 cos θ+25)/(5+4 cos θ)²
= (4 cos θ+5)²/(5+4 cos θ)²
= 1
Value of [(a-2)²+b²] = 1