Question

we took a sample of employees with 30 employees (n=30) in the sample. Assume that the overall average of the satisfaction level is .614, and the overall standard deviation is .254

1. What is the probability that the mean of the 30 employees in the sample will be .70 or more?
2. What is the probability that the mean of the sample of 30 will be .60 or less?
3. What is the probability that the mean of the sample of 30 will be between .50 and .70?
4. What is the cutoff salary for the largest 20% of the sample means? In other words, what is the 80^th percentile of the sample means?

Answer 1

a)

µ =    0.614                                  
σ =    0.254                                  
n=   30                                  
                                      
X =   0.7                                  
                                      
Z =   (X - µ )/(σ/√n) = (   0.7   -   0.614   ) / (    0.254   / √   30   ) =   1.854
                                      
P(X ≥   0.7   ) = P(Z ≥   1.85   ) =   P ( Z <   -1.854   ) =    0.0318      

b)

µ =    0.614                                  
σ =    0.254                                  
n=   30                                  
                                      
X =   0.6                                  
                                      
Z =   (X - µ )/(σ/√n) = (   0.6   -   0.614   ) / (   0.254   / √   30   ) =   -0.302
                                      
P(X ≤   0.6   ) = P(Z ≤   -0.302   ) =   0.3814                  

c)

µ =    0.614                                  
σ =    0.254                                  
n=   30                                  
we need to calculate probability for ,                                      
0.50 ≤ X ≤    0.70
X1 =    0.50 ,    X2 =   0.70   
                                      
Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = (   0.5   -   0.614   ) / (   0.254   / √   30   ) =   -2.46
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = (   0.7   -   0.614   ) / (   0.254   / √   30   ) =   1.85
                                      
P (   0.5   < X <    0.7   ) =    P (    -2.5   < Z <    1.9   )   
                                      
= P ( Z <    1.85   ) - P ( Z <   -2.46   ) =    0.9681657   -    0.00698   =    0.9612  

d)

µ =    0.614                              
σ =    0.254                              
n=   30                              
proportion=   0.80   
                                  
Z value at    0.8   =   0.842   (excel formula =NORMSINV(   0.80   ) )          
z=(x-µ)/(σ/√n)                                  
so, X=z * σ/√n +µ=   0.842   * 0.254 / √    30   +   0.614   =   0.653