Question

S.M.A.R.T. test scores are standardized to produce a normal distribution with a mean of 230 and a standard deviation of 35. Find the proportion of the population in each of the following S.M.A.R.T. categories. (6 points)

1. Genius: Score of greater than 300.

2. Superior intelligence: Score between 270 and 290.

3. Average intelligence: Score between 200 and 26

Answer 1

a)

µ =    230                          
σ =    35                          
right tailed                              
P ( X > 300   )                      
                              
Z =   (X - µ ) / σ = (   300.00   -   230   ) /    35   =   2.000
                              
P(X > 300   ) = P(Z > 2.000   ) =   P ( Z <   -2.000   ) =    0.0228
excel formula for probability from z score is =NORMSDIST(Z)                              

P(genius) = 0.0228

------------------------

b)

µ =    230                              
σ =    35                              
we need to calculate probability for ,                                  
270   ≤ X ≤    290                          
X1 =    270   ,   X2 =   290                  
                                  
Z1 =   (X1 - µ ) / σ = (   270   -   230   ) /    35   =   1.1429  
Z2 =   (X2 - µ ) / σ = (   290   -   230   ) /    35   =   1.7143  
                                  
P (   270   < X <    290   ) =    P (    1.1429 < Z <    1.714   )
                                  
= P ( Z <    1.714   ) - P ( Z <   1.143   ) =    0.95676   -    0.873451   =    0.0833

P(Superior intelligence) = 0.0833

--------------------------------

c)

µ =    230                              
σ =    35                              
we need to calculate probability for ,                                  
200   ≤ X ≤    260                          
X1 =    200   ,   X2 =   260                  
                                  
Z1 =   (X1 - µ ) / σ = (   200   -   230   ) /    35   =   -0.8571  
Z2 =   (X2 - µ ) / σ = (   260   -   230   ) /    35   =   0.8571  
                                  
P (   200   < X <    260   ) =    P (    -0.857142857   < Z <    0.857   )
                                  
= P ( Z <    0.857   ) - P ( Z <   -0.857   ) =    0.80432   -    0.195683   =    0.6086

P(Average intelligence) = 0.6086