Question

We are given that P = population proportion of persons 20-30 years old that hold license degrees (unknown) and we are asked to test

H₀: p≤0.67 versus H₁: p>0.67

The observed sample proportion is pˆp^  = 61/79 = 0.772 from a random sample of size 79.

compute the following:

a)    P- value of the test

b) Probability of making Type II error and the power of this test at p= 0.87

Answer 1

a)

Ho :   p =    0.67
H1 :   p >   0.67

Number of Items of Interest,   x =   61                  
Sample Size,   n =    79                  
                          
Sample Proportion ,    p̂ = x/n =    0.772                  
                          
Standard Error ,    SE = √( p(1-p)/n ) =    0.0529                  
Z Test Statistic = ( p̂-p)/SE = (   0.7722   -   0.67   ) /   0.0529   =   1.931
                             
                          
p-Value   =   0.0267 [Excel function =NORMSDIST(-z)

...................

b)

true proportion,   p=   0.87                      
                              
hypothesis proportion,   po=    0.670                      
significance level,   α =    0.05                      
sample size,   n =   79                      
                              
std error of sampling distribution,   σpo = √(po*(1-po)/n) = √ (   0.670   *   0.330   /   79   ) =   0.0529
std error of true proportion,   σp = √(p(1-p)/n) = √ (   0.87   *   0.13   /   79   ) =   0.0378

Zα =       1.645   (right tailed test)      
                  
We will fail to reject the null (commit a Type II error) if we get a Z statistic <                   1.645
this Z-critical value corresponds to X critical value( X critical), such that                  
                  
(p^ - po)/σpo ≤ Zα                  
p^ ≤ Zα*σpo + po                  
p^ ≤    1.645*0.0529+0.67       =   0.7570  
                  
now, type II error is ,ß =    P( p^ ≤    0.7570   given that p =   0.87  
                  
   = P ( Z < (p^ - p)/σp )=       P(Z < (0.757-0.87) / 0.0378)      
   = P ( Z < (   -2.986   )      
   =   0.00141          

ß = 0.00141

...............

THANKS

revert back for doubt

please upvote