Question

More than 100 million people around the world are not getting enough sleep; the average adult needs between 7.5 and 8 hours of sleep per night. College students are particularly at risk of not getting enough shut-eye. A recent survey of several thousand college students indicated that the total hours of sleep time per night, denoted by the random variable X, can be approximated by a normal model with E(X) = 6.79 hours and SD(X) = 1.22 hours. Question 1. Find the probability that the hours of sleep per night for a random sample of 4 college students has a mean x between 6.62 and 6.95. .0039 Incorrect: Your answer is incorrect. (use 4 decimal places in your answer) Question 2. Find the probability that the hours of sleep per night for a random sample of 16 college students has a mean x between 6.62 and 6.95. (use 4 decimal places in your answer) Question 3. Find the probability that the hours of sleep per night for a random sample of 25 college students has a mean x between 6.62 and 6.95. (use 4 decimal places in your answer) Question 4. The Central Limit Theorem was needed to answer questions 1, 2, and 3 above.

Answer 1

1)

µ =    6.79                                      
σ =    1.22                                      
n=   4                                      
we need to calculate probability for ,                                          
6.62   ≤ X ≤    6.95                                  
X1 =    6.62   ,    X2 =   6.95                          
                                          
Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = (   6.62   -   6.79   ) / (   1.22   / √   4   ) =   -0.28  
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = (   6.95   -   6.79   ) / (   1.22   / √   4   ) =   0.26  
                                          
P (   6.62   < X <    6.95   ) =    P (    -0.28   < Z <    0.26   )       
                                          
= P ( Z <    0.26   ) - P ( Z <   -0.28   ) =    0.6035   -    0.3902   =    0.2132       (answer)

excel formula for probability from z score is =NORMSDIST(Z)                                          

2)

µ =    6.79                                      
σ =    1.22                                      
n=   16                                      
we need to calculate probability for ,                                          
6.62   ≤ X ≤    6.95                                  
X1 =    6.62   ,    X2 =   6.95                          
                                          
Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = (   6.62   -   6.79   ) / (   1.22   / √   16   ) =   -0.56  
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = (   6.95   -   6.79   ) / (   1.22   / √   16   ) =   0.52  
                                          
P (   6.62   < X <    6.95   ) =    P (    -0.56   < Z <    0.52   )       
                                          
= P ( Z <    0.52   ) - P ( Z <   -0.56   ) =    0.7001   -    0.2886   =    0.4114       (answer)

3)

µ =    6.79                                      
σ =    1.22                                      
n=   25                                      
we need to calculate probability for ,                                          
6.62   ≤ X ≤    6.95                                  
X1 =    6.62   ,    X2 =   6.95                          
                                          
Z1 =   (X1 - µ )/(σ/√n) = (   6.62   -   6.79   ) / (   1.22   / √   25   ) =   -0.70  
Z2 =   (X2 - µ )/(σ/√n) = (   6.95   -   6.79   ) / (   1.22   / √   25   ) =   0.66  
                                          
P (   6.62   < X <    6.95   ) =    P (    -0.70   < Z <    0.66   )       
                                          
= P ( Z <    0.66   ) - P ( Z <   -0.70   ) =    0.7440   -    0.2430   =    0.5010       (answer)