Question

The pH of 20 randomly selected lakes is measured. Their average pH is 5.7.

Part C. Five of the 20 lakes have a pH less than 4.5.
Part Ci. Build a 95% confidence interval for the proportion of lakes that have a pH less than 4.5.
Part Cii. Test whether the population proportion of pH’s that are less than 4.5 differs from 0.5.
Part Ciii. To be accurate to within 0.1 with 95% confidence, how many lakes should we measure?

Answer 1

ci)

Level of Significance,   α =    0.05          
Number of Items of Interest,   x =   5          
Sample Size,   n =    20          
                  
Sample Proportion ,    p̂ = x/n =    0.2500          
z -value =   Zα/2 =    1.960   [excel formula =NORMSINV(α/2)]      
                  
Standard Error ,    SE = √[p̂(1-p̂)/n] =    0.0968          
margin of error , E = Z*SE =    1.960   *   0.0968   =   0.1898
                  
95%   Confidence Interval is              
Interval Lower Limit = p̂ - E =    0.250   -   0.1898   =   0.060
Interval Upper Limit = p̂ + E =   0.250   +   0.1898   =   0.440
                  
95%   confidence interval is (   0.0602   < p <    0.440   )
----------

cii)

Ho :   p =    0.5                  
H1 :   p ╪   0.5       (Two tail test)          
                          
Level of Significance,   α =    0.05                  
Number of Items of Interest,   x =   5                  
Sample Size,   n =    20                  
                          
Sample Proportion ,    p̂ = x/n =    0.2500                  
                          
Standard Error ,    SE = √( p(1-p)/n ) =    0.1118                  
Z Test Statistic = ( p̂-p)/SE = (   0.2500   -   0.5   ) /   0.1118   =   -2.2361
                          
  
p-Value   =   0.0253   [excel formula =2*NORMSDIST(z)]              
Decision:   p-value<α , reject null hypothesis                       
There is enough evidence to conclude that   population proportion of pH’s that are less than 4.5 differs from 0.5   

----------------

ciii)

sample proportion ,   p̂ =    0.25                          
sampling error ,    E =   0.1                          
Confidence Level ,   CL=   0.95                          
                                  
alpha =   1-CL =   0.05                          
Z value =    Zα/2 =    1.960   [excel formula =normsinv(α/2)]                      
                                  
Sample Size,n = (Z / E)² * p̂ * (1-p̂) = (   1.960   /   0.1   ) ² *   0.25   * ( 1 -   0.25   ) =    72.03
                                  
                                  
so,Sample Size required=       73