Question

1. The following 12 data pairs relate variable x_i, the amount of fertilizer, to variable Y_i, the amount of wheat harvested:

x: 30 30 30 50 50 50 70 70 70 90 90 90

Y: 9 11 14 12 14 23 19 22 31 29 33 35

such that : ∑x = 720 ∑y = 252 , ∑ xy =17240, ∑x² =49200, ∑y² = 6228

a) Find equation of linear regression line: Y = A + BX.

b) 95% 2 sided confidence interval for B.

c) Is there regression on input variable?

d) Find 2-sided 99% prediction interval for response if x₀ = 40.

e) Calculate R², explain its meaning.

Answer 1

a)

	X	Y	XY	X²	Y²
total sum	720	252	17240	49200	6228
mean	60.0000	21.0000

sample size ,   n =   12          
here, x̅ =Σx/n =   60.000   ,   ȳ = Σy/n =   21.000  
                  
SSxx =    Σx² - (Σx)²/n =   6000.00          
SSxy=   Σxy - (Σx*Σy)/n =   2120.00          
SSyy =    Σy²-(Σy)²/n =   936.00          
estimated slope , ß1 = SSxy/SSxx =   2120.000   /   6000.000   =   0.35333
                  
intercept,   ß0 = y̅-ß1* x̄ =   -0.20000          
                  
so, regression line is   Ŷ =   -0.200   +   0.353   *x

b)

confidence interval for slope                  
α=   0.05              
t critical value=   t α/2 =    2.228   [excel function: =t.inv.2t(α/2,df) ]      
estimated std error of slope = Se/√Sxx =    4.32358   /√   6000.00   =   0.056
                  
margin of error ,E= t*std error =    2.228   *   0.056   =   0.124
estimated slope , ß^ =    0.3533              
                  
                  
lower confidence limit = estimated slope - margin of error =   0.3533   -   0.124   =   0.229
upper confidence limit=estimated slope + margin of error =   0.3533   +   0.124   =   0.478

c) yes

d)

X Value=   40                      
Confidence Level=   99%                      
                          
                          
Sample Size , n=   12                      
Degrees of Freedom,df=n-2 =   10                      
critical t Value=tα/2 =   3.169   [excel function: =t.inv.2t(α/2,df) ]                  
                          
X̅ =    60.00                      
Σ(x-x̅)² =Sxx   6000.000000                      
Standard Error of the Estimate,Se=   4.32                      
                          
Predicted Y at X=   40   is                  
Ŷ =   -0.200   +   0.353   *   40   =   13.933
                          

For Individual Response Y                          
standard error, S(ŷ)=Se*√(1+1/n+(X-X̅)²/Sxx) =   4.6365                      
margin of error,E=t*std error=t*S(ŷ)=    3.1693   *   4.64   =   14.6944      
                          
Prediction Interval Lower Limit=Ŷ -E =   13.933   -   14.694   =   -0.7611      
Prediction Interval Upper Limit=Ŷ +E =   13.933   +   14.694   =   28.6277      

e)

R² =    (Sxy)²/(Sx.Sy) =    0.8003

about   82.16%   of variation in observation of variable Y, is explained by variable x